El Vikipedio, la libera enciklopedio
Diferenciala operatoro estas lineara operatoro , kiu konsistas el (partaj) derivoj kun koeficientoj.
Se
M
{\displaystyle M}
estas glata sternaĵo , kaj
E
{\displaystyle E}
kaj
F
{\displaystyle F}
estas glataj vektoraj faskoj sur ĝi, do diferenciala operatoro de grado
k
{\displaystyle k}
de sekcioj de
E
{\displaystyle E}
al sekcioj de
F
{\displaystyle F}
estas operatoro de la jena formo:
D
:
Γ
(
E
)
→
Γ
(
F
)
{\displaystyle D\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)}
D
=
T
0
+
T
1
μ
∂
μ
+
T
2
μ
ν
∂
μ
∂
ν
+
⋯
+
T
k
μ
1
μ
2
…
μ
k
∂
μ
1
∂
μ
2
⋯
∂
μ
k
{\displaystyle D=T_{0}+T_{1}^{\mu }\partial _{\mu }+T_{2}^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }+\dotsb +T_{k}^{\mu _{1}\mu _{2}\dotso \mu _{k}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\dotsm \partial _{\mu _{k}}}
La koeficiencoj
T
0
{\displaystyle T_{0}}
estas sekcioj de la jenaj vektoraj faskoj:
T
0
∈
Γ
(
E
∗
⊗
F
)
{\displaystyle T_{0}\in \Gamma (E^{*}\otimes F)}
T
1
∈
Γ
(
E
∗
⊗
T
M
⊗
F
)
{\displaystyle T_{1}\in \Gamma (E^{*}\otimes \mathrm {T} M\otimes F)}
T
2
∈
Γ
(
E
∗
⊗
T
M
⊗
T
M
⊗
F
)
{\displaystyle T_{2}\in \Gamma (E^{*}\otimes \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M\otimes F)}
⋮
{\displaystyle \vdots }
T
k
∈
Γ
(
E
∗
⊗
(
T
M
)
⊗
k
⊗
F
)
{\displaystyle T_{k}\in \Gamma (E^{*}\otimes (\mathrm {T} M)^{\otimes k}\otimes F)}
Ĉi-supre,
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
estas la tanĝa fasko de la glata sternaĵo
M
{\displaystyle M}
. La tanĝaj indicoj de
T
i
μ
1
…
μ
i
{\displaystyle T_{i}^{\mu _{1}\dotso \mu _{i}}}
estas simetriaj.
La ĉi-supra esprimo dependas de la koordinatsistemo uzata sur la sternaĵo. Tamen, ŝanĝo de la koordinatsistemo ne ŝanĝas la ĝeneralan formon de la ĉi-supra esprimo, nek la grado.
Lineara konekto en vektora fasko difinas la kunvariantan derivon :
∇
:
Γ
(
E
)
→
Γ
(
E
⊗
T
∗
M
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}
∇
μ
s
a
=
∂
μ
s
a
+
Γ
μ
b
a
s
b
{\displaystyle \nabla _{\mu }s^{a}=\partial _{\mu }s^{a}+\Gamma _{\mu b}^{a}s^{b}}
Ĝi estas diferenciala operatoro de grado 1.
La laplaca operatoro estas ekzemplo de diferenciala operatoro de grado 2. Sur rimana sternaĵo
(
g
,
M
)
{\displaystyle (g,M)}
, la laplaca operatoro sur funkcioj estas la jeno:
Δ
:
C
∞
(
M
,
R
)
→
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle \Delta \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
Δ
f
=
g
i
j
∂
i
∂
j
f
+
g
i
j
Γ
i
j
k
∂
k
f
{\displaystyle \Delta f=g^{ij}\partial _{i}\partial _{j}f+g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}f}
En plata spaco, la simbolo de Christoffel
Γ
i
j
k
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}
estas nul.